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關(guān)于拋物線的十個(gè)最值問(wèn)題
本文用初等方法討論了與拋物線有關(guān)的若干幾何最值問(wèn)題,得到了十個(gè)有趣的結(jié)論.為方便讀者摘用, 現(xiàn)用定理形式敘述如下:
定理1.拋物線的所有焦半徑中,以過(guò)頂點(diǎn)的焦半徑為最短.
證明:不妨設(shè)拋物線的極坐標(biāo)方程為 ρ= ,則顯然有ρ≥ ,其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半徑通過(guò)拋物線的頂點(diǎn)時(shí).證畢.
定理2.拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中,以拋物線的通徑為最短.
證明:設(shè)拋物線極坐標(biāo)方程為 ρ= ,焦點(diǎn)弦為AB,且設(shè)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),則有
│AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通徑長(zhǎng),
其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB為通徑時(shí).證畢.
定理3.設(shè)A(a,0)是拋物線 y2=2px(p＞0)的對(duì)稱軸上的定點(diǎn),M(x,y)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則
│MA│m in =
證明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知結(jié)論成立.證畢.
定理4.設(shè)A(a,b)是拋物線 y2=2px(p＞0)內(nèi)一定點(diǎn),
F是焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則
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