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二元函數極限證明
二元函數極限證明設P=f(x,y),P0=(a,b) ，當P→P0 時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。
此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。
我們必須注意有以下幾種情形： ’
(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在
(2)兩個二次極限存在而不相等
(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在
2
函數f(x )當x →X0時極限存在，不妨設：limf(x)=a(x →X0)
根據定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即為x屬于x0的某個鄰域U(x0;δ)
又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1
再取M=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當任意x屬于x0的某個鄰域U(x0;δ)時,有|f(x)|
證畢
3首先，我的方法不正規(guī)， 其次，正確不正確有待考察。
1，y以 y=x^2-x 的路徑趨于0 Limited sin (x+y)/x^2 =Limited sinx^2/x^2=1 而 y=x 的路徑趨于0 結果是無窮大。
2，3 可以用類似的方法，貌似同濟書上是這么說的，二元函數在該點極限存在，是P(x,y) 以任何方式趨向于該點。
4
f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
當x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的 所以不存在
而當x->0,y->0時
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)
而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2
所以|f|<=|x|+|y|
所以顯然當x->0,y->0時，f的極限就為0
這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的
正無窮或負無窮或無窮，我想這個就可以了
就我這個我就線了好久了
5
(一)時函數的極限：
以 時 和 為例引入.
介紹符號: 的意義, 的直觀意義.
定義 ( 和 . )
幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數.然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.
例1驗證 例2驗證 例3驗證 證 ……
(二)時函數的極限：
由 考慮 時的極限引入.
定義函數極限的“ ”定義.
幾何意義.
用定義驗證函數極限的基本思路.
例4 驗證 例5 驗證 例6驗證 證 由 =
為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7驗證 例8驗證 ( 類似有 (三)單側極限:
1.定義：單側極限的定義及記法.
幾何意義: 介紹半鄰域 然后介紹 等的幾何意義.
例9驗證 證 考慮使 的 2.單側極限與雙側極限的關系:
Th類似有: 例10證明: 極限 不存在.
例11設函數 在點 的某鄰域內單調. 若 存在, 則有
= §2 函數極限的性質(3學時)
教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。
教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。
教學重點：函數極限的性質及其計算。
教學難點：函數極限性質證明及其應用。
教學方法：講練結合。
一、組織教學：
我們引進了六種極限: , .以下以極限 為例討論性質. 均給出證明或簡證.
二、講授新課：
(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號性:
4.單調性( 不等式性質 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在點 的空心鄰域,使 ， 都有 證 設 = ( 現證對 有 )
註:若在Th 4的條件中, 改“ ”為“ ”, 未必就有 以 舉例說明.
5.迫斂性:
6.四則運算性質:( 只證“+”和“ ”)
(二)利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：
(注意前四個極限中極限就是函數值 )
這些極限可作為公式用. 在計算一些簡單極限時, 有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.
利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質, 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計算得所求極限.
例1( 利用極限 和 )
例2例3註:關于 的有理分式當 時的極限.
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7
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