歸納法證明不等式

由于lnx>0 則x>1

設(shè)f(x)=x-lnx f'(x)=1-1/x>0

則f(x)為增函數(shù) f(x)>f(1)=1

則 x>lnx

則可知道等式成立。。。。。。。。。(運(yùn)用的是定理，f(x),g(x)>0. 且連續(xù) 又f(x)>=g(x).則 在相同積分區(qū)間上的積分也是>=)

追問

請(qǐng)問這個(gè)“定理”是什么定理?

我是學(xué)數(shù)學(xué)分析的，書上能找到么?

回答

能 你在書里認(rèn)真找找，不是定理就是推論埃。。。。

叫做積分不等式性

數(shù)學(xué)歸納法不等式的做題思路 ： 1、n等于最小的滿足條件的值，說明一下這時(shí)候成立，一般我們寫顯然成立，無須證明

2、假設(shè)n=k的時(shí)候成立，證明n=k+1的時(shí)候也是成立的，難度在這一步。(含分母的一般用放縮法，含根號(hào)的常用分母有理化。)

3、總結(jié)，結(jié)論成立，一般只要寫顯然成立。 這題大于號(hào)應(yīng)該為小于號(hào)。 當(dāng)n=1,1<2顯然 假設(shè)n=k-1的時(shí)候成立 即 1+ 1/√2 +1/√3 +... +1/√(k -1)<2√(k-1) 則當(dāng)n=k時(shí)，

1+ 1/√2 +1/√3 +...... +1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√(k -1)=2(√k-√(k -1)=2/[(√k+√(k -1)]，即只要√(k -1<√k,而這顯然。所以1+ 1/√2 +1/√3 +...... +1/√n >2√n

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n屬于正整數(shù)),求證:當(dāng)n>1時(shí),f(2^n)>n+2/2

(1)n=2時(shí) 代入成立

(2)假設(shè)n=a時(shí)候成立

則n=a+1時(shí)

f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>

f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))

后面相同項(xiàng)一共有2^a個(gè)

所以上面又= f(2^a)+2^a/(2^(a+1))= f(2^a)+1/2

因?yàn)閒(2^a)>(a+2)/2 故上面大于<(a+1)+2>/2

因此n=a時(shí)上式成立的話 n=a+1也成立

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+)

“1/2^2”指2的平方分之1

證明：數(shù)學(xué)歸納法：

1、∵當(dāng)n=2時(shí)有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2

∴符合原命題。

2、假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2，k∈N+)成立，

則當(dāng)n=k+1時(shí)有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1) ∴原命題成立

綜上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈N+)成立!!。

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